Analisis Riil : Limit Barisan

3.1.3 Definisi

Barisan X = (x_n) pada R dikatakan berkumpul $bertemu$ ke x ϵ R, atau x dikatakan limit dari (x_n), jika setiap 𝛆 > 0 terdapat bilangan asli K(𝛆) seperti untuk semua n ≥ K(𝛆), batas xn memenuhi | x_n - x| antara xn dan x kurang dari 𝛆 untuk semua n ≥ K(𝛆)=K.

Jika barisan punya limit, barisan adalah konvergen, jika tak punya limit maka barisan divergen.

Catatan : notasi K(𝛆) digunakan untuk menekankan bahwa pilihan pada K bergantung pada nilai 𝛆. Namun, terkadang mudah untuk menulis K daripada K(𝛆). Dibanyak kasus, nilai “kecil” sebenarnya mengandung nilai “besar” K untuk menjamin jarak | x_n - x| antara x_n dan x kurang dari 𝛆 untuk semua n ≥ K(𝛆)=K.

Saat barisan mempunyai limit x, kita notasikan

Lim X = x atau lim(x_n) = x

Terkadang digunakan symbol x_n ⟾ x, yang menandakan ide intuitif bahwa nilai x_n pendekatan nilai x sebagai n ⟾ ∞.

3.1.4 keunikan limit barisan di R punya paling tidak satu limit

Bukti :

Misalkan x’ dan x’’ keduanya limit dari (x_n). untuk setiap 𝛆>0 terdapat K’ yaitu | x_n – x’| < 𝛆/2 untuk semua n ≥ K’, dan terdapat K’’ yaitu | x_n – x’’|< 𝛆/2 untuk semua n ≥ K’’. Diberikan K lebih besar dari K’ dan K’’. Maka untuk n ≥ K kita gunakan ketaksamaan segitiga didapatkan

|x’-x’’|= |x’ - x_n + x_n - x’’|

            ≤ |x’ - x_n|+ |x_n - x’’| < 𝛆/2 + 𝛆/2 = 𝛆

Karena 𝛆 > 0 bilang positif sembarang, disimpulakan x’ – x’’ = 0

Untuk xϵR dan 𝛆>0, ingat bahwa 𝛆-neighborhood dari x adalah himpunan

V_𝛆$x$ = {u ϵ R : |u – x| <𝛆}

Karena V_𝛆$x$ setara dengan |u – x| <  𝛆,  definisi barisan konvergen dapat di formulasikan pada ketentuan neighborhoods.

 3.1.5 teorema diberikan X = (x_n) adalah barisan bilangan riil, diberikan x ϵ R. pernyataan berikut adalah setara.

1. X konvergen ke x.
2. Untuk setiap 𝛆 > 0, terdapat bilangan asli K sehingga untuk semua n ≥ K, memenuhi x_n memenuhi | x_n – x| < 𝛆.
3. Untuk setiap 𝛆 >0, terdapat bilang asli K sehingga untuk semua n ≥ K, memenuhi x – 𝛆< x_n < x + 𝛆. 
4. Untuk setiap 𝛆-neighborhood V_𝛆$x$ pada x, terdapat bilangan asli K seperti untuk semua n ≥ K, ketentuan x_n punya V_𝛆$x$.

Bukti : ekuivalen pada a dan b hanyalah definisi. Ekuivalen pada b, c, dan d mengikuti implikasi

|u – x| < 𝛆  ⟺ - 𝛆 < u – x < 𝛆  ⟺  x – 𝛆 < u < x + 𝛆  ⟺  u ϵ V_𝛆$x$.

Dengan bahasa ketetanggan , seseorang dapat menggambarkan konvergensi barisan X = (x_n) ke angka x dengan mengatakan: untuk setiap 𝛆-neighborhood V_𝛆$x$ untuk x, semua tapi angka finite pada ketentuan X milik V_𝛆$x$. angka finite pada ketentuan bahwa mungkin tidak terdapat pada setiap 𝛆-neighborhood adalah ketentuan x₁, x_2,…, x_k-1.

3.1.7 Contoh

Barisan $0, 2, 0, 2, …, 0, 2,…$ tidak konvergen ke angka 0. Jika pemain A menegaskan 0 adalah limit dari barisan, dia kehilangan K(𝛆) permainan saat pemain B memberikan dia nilai dari 𝛆<2. Lebih pasti, pemain B memberi pemain A nilai t₀ = 1. Maka tak penting pemain A memilih angka K, responnya tidak akan memenuhi syarat, untuk pemain B akan merespon dengan memilih angka genap n > K. maka nilai x_n = 2 bahwa | x_n – 0| = 2 >1 = t_0. Demikian angka 0 bukan limit dari barisan.