Penjelasan mengapa $1^\infty$ tak tentu

 

Misakan ambil beberapa bentuk yang dapat dibentuk menjadi $1^\infty$ yaitu

1. $\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$.

2. $\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{x})^{x}$.

3. $\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}$.

Dengan menggunakan Teorema L'Hopital yaitu

Aturan L'hospital 1 pada Analisis Riil berbunyi: 

Misalkan , misalkanterdiferensiasi padadan  untuk semua  yaitu

• jika , maka 
  
  
• jika , maka 

Selanjutnya akan dicari ketiga nilai dari limit tersebut.

1. akan dicari nilai dari $\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$ yaitu

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{ln((1+\frac{1}{x})^{x})}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{xln(1+\frac{1}{x})}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e^{\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))}$

selanjutnya akan dicari $\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))$ yaitu

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(ln(1+\frac{1}{x}))}{\frac{1}{x}}$

dengan menggunakan aturan L'Hopital didapatkan

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(-\frac{1}{x(x+1)})}{-\frac{1}{x^{2}}}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{2}}{x(x+1)}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+x}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=1$

Diperoleh bahwa

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e^{1}=e$

2. akan dicari nilai dari $\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{x})^{x}$ yaitu

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{ln((1-\frac{1}{x})^{x})}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{xln(1-\frac{1}{x})}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=e^{\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1-\frac{1}{x}))}$

selanjutnya akan dicari $\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1-\frac{1}{x}))$ yaitu

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1-\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(ln(1-\frac{1}{x}))}{\frac{1}{x}}$

dengan menggunakan aturan L'Hopital didapatkan

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1-\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(\frac{1}{x(x+1)})}{-\frac{1}{x^{2}}}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=-\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{2}}{x(x+1)}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=-\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+x}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=-\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(xln(1+\frac{1}{x}))=-1$

Diperoleh bahwa

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

3. akan dicari nilai dari $\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}$ yaitu

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{ln((1+\frac{1}{x})^{x^{2}})}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x^{2}ln(1+\frac{1}{x})}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e^{\lim_{x \rightarrow \infty}(x^{2}ln(1+\frac{1}{x}))}$

selanjutnya akan dicari $\lim_{x\rightarrow \infty}(x^{2}ln(1+\frac{1}{x}))$ yaitu

$\lim_{x \rightarrow \infty}(x^{2}ln(1+\frac{1}{x}))=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{ln(x^{2}ln(1+\frac{1}{x})}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}(x^{2}ln(1+\frac{1}{x}))=e^{\lim_{x \rightarrow \infty}(ln(x^{2}ln(1+\frac{1}{x})}$

selanjutnya akan dicari $\lim_{x \rightarrow \infty}(ln(x^{2}ln(1+\frac{1}{x})$ yaitu

$\lim_{x \rightarrow \infty}(ln(x^{2}ln(1+\frac{1}{x})=\infty$

Diperoleh bahwa 

$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}=e^{\infty}=\infty$

Dari ketiga bentuk tersebut maka $1^{\infty}$ bernilai banyak sehingga terbukti bahwa $1^{\infty}$ tak tentu.