Ring Faktor

RING FAKTOR $RING KUOSIEN$

• Berdasarkan Teori Grup, jika H subgrup dari $R, +$ dan pada R dikenakan relasi “a ~ b” jika dan hanya jika a-b∈H. untuk setiap a, b∈R, maka relasi~ merupakan relasi ekuivalen.
• Oleh karena itu, R terpecah dalam kelas-kelas ekuivalensi.
• Himpunan semua kelas-kelas ekuivalensi dinotasikan dengan R/H, dengan R/H = {a + H|a∈R} disebut koset penjumlahan dari H.

Teorema 1

Misalkan H subring dari ring R = $R, +, .$. Perkalian pada koset penjumlahan dari H, R/H yang didefinisikan dengan $a + H$$b + H$ = ab + H well defined $terdefinisi dengan baik$ jika
dan hanya jika ah∈H dan bh∈H untuk setiap a, b∈R dan h∈H.

Teorema 2

Jika I ideal dari ring R, maka koset penjumlahan dari I, R/I, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan $a + I$ + $b + I$ = $a + b$ + I dan $a + I$$b+ I$ = ab + I, membentuk ring. Ring ini disebut ring faktor $ring kuosien$.

lanjutan....

• Perhatikan bahwa untuk setiap ring R senantiasa mempunyai dua ideal, yaitu ideal tak sejati $improper ideal$ R dan ideal trivial $trivial ideal$ { 0 }.
• Ring faktor R/R mempunyai satu elemen yaitu Ō = R, R/R = { R } isomorfik dengan R.
• Ring faktor R/{ 0 } = { r | r∈R}.

Teorema 3

Misalkan R = $R, +, ·$ ring komutatif dengan elemen satuan, M ideal maksimal di R jika dan hanya jika R/M lapangan.

Akibat:
Ring komutatif dengan elemen satuan merupakan lapangan jika dan hanya jika ring tersebut tidak mempunyai ideal sejati tak trivial

pembuktian:

• $⇒$ Misalkan R lapangan, maka R hanya mempunyai dua ideal, yaitu ideal tak sejati R dan ideal trivial { 0 }, dengan kata lain  R tidak mempunyai ideal sejati tak trivial.
• $⇐$ Misalkan R ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak mempunyai ideal sejati tak trivial. Ini ⇐ berarti ideal dari R hanyalah { 0 } dan R. Dengan demikian { 0 } merupakan ideal maksimal dan Pada Teorema 3, R/{ 0 } lapangan. Selanjutnya karena R isomorfik dengan R/{ 0 }, maka terbukti bahwa R lapangan.

Teorema 4

Misalkan R = $R, +, ·$ ring komutatif dengan elemen satuan dan P ≠ R ideal dari R, P merupakan ideal prima jika dan hanya jika R/P daerah integral.

Akibat:
Setiap ideal maksimal dalam di dalam ring komutatif dengan elemen satuan adalah ideal prima.

Pembuktian:

Misalkan M ideal maksimal di dalam ring komutatif dengan elemen satuan R. Pada Teorema 3, R/M
adalah lapangan. Selanjutnya karena setiap lapangan adalah daerah integral, maka pada Teorema 4, M adalah ideal prima.

Rangkuman

• Diberikan ring R = $R, +, ·$ dan I subgrup dari $R, +$, I disebut ideal dari R jika untuk setiap r∈R, rI ⊆ I dan Ir⊆I. Koset penjumlahan R/I = { a + I | a∈R }terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan $a + I$ + $b + I$ = $a + b$ + I dan $a + I$ · $b + I$ = $ab$ + I merupakan ring.
• Ideal M di dalam ring komutatif dengan elemen satuan R adalah ideal maksimal, jika R tidak memuat ideal sejati tak trivial N dengan N ≠ M sedemikian hingga M ⊂ N ⊂ R. Ideal M maksimal jika dan hanya jika R/M lapangan.
• Ideal P di dalam ring komutatif dengan elemen satuan R adalah ideal prima, jika untuk setiap a, b∈R dengan ab∈P berakibat a∈P atau b∈P. Ideal P prima jika dan hanya jika R/P daerah integral.
• Setiap ideal maksimal adalah prima, tetapi tidak berlaku sebaliknya.